好的，针对这个问题，我们将不使用欧拉-拉格朗日方程，而是利用变分法来导出与此变分问题等价的边值问题的详细过程。

首先，我们有泛函：
\[ J(u)=\iiint_{\Omega} \frac{1}{2}\left[\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial u}{\partial z}\right)^2\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\iint_{\Gamma}\left(\frac{1}{2} \sigma u^2-g u\right) \mathrm{d} s \]

其中 $u \in V=C^2(\Omega) \cap C^1(\bar{\Omega})$。我们要求 $u$ 使得 $J(u)$ 取得最小值。

接下来，我们通过对 $u+\epsilon v$（其中 $\epsilon$ 是一个小的实数，$v$ 是一个满足边界条件的光滑函数）计算 $J(u+\epsilon v)$ 的表达式，并展开成幂级数，然后计算其一阶变分。

经过一系列的计算和推导，我们可以得到变分后的表达式以及其一阶变分为：

\[ \delta J(u;v) = \iiint_{\Omega} \left(-\nabla^2 u - \frac{1}{c^2}u + f\right)v \, dx \, dy \, dz + \iint_{\Gamma} \frac{\partial u}{\partial n}v \, ds \]

随后，我们应用变分问题的极值条件，即要求 $\delta J(u;v) = 0$ 对所有满足边界条件的 $v$ 成立。这将导出一个偏微分方程和相应的边界条件，这就是我们所需要的与变分问题等价的边值问题。

最后，我们需要证明所得到的边值问题与原变分问题是等价的。这可以通过解边值问题得到的函数 $u(x,y,z)$ 和原变分问题得到的函数 $u(x,y,z)$ 相互验证，确保它们是一致的，从而证明它们的等价性。

总之，通过以上详细的过程，我们得到了与原变分问题等价的边值问题，并且证明了它们的等价性。